Halo, apa kabar teman-teman? Penulis berharap kamu selalu bahagia dan semangat dalam menjalani belajar online tahun in ya! Kali ini penulis akan melanjutkan materi Matematika kelas 10 bab 3 mengenai Fungsi.
Apakah kamu sudah siap? Jangan lupa untuk mencatat dan membuka buku ajar dari Kemdikbud ya! So, yuk langsung simak rangkuman di bawah ini!
Bab 3:
Fungsi
3.1 Memahami Notasi, Domain, Range, dan Grafik Suatu Fungsi
Ingat kembali pelajaran relasi dan fungsi waktu saat kamu belajar di SMP. Ilustrasi tentang bagaimana sebuah mesin bekerja, mulai dari masukan (input) kemudian diproses dan menghasilkan luaran (output) adalah salah satu contoh bagaimana fungsi dalam matematika bekerja.
Contoh:
Berdasarkan Gambar 3.1 di atas, misalkan masukannya adalah x = 5, maka mesin akan bekerja dan luarannya adalah 2(5) + 5 = 15. Mesin tersebut telah diprogram untuk menunjukkan sebuah fungsi. Jika f adalah sebuah fungsi, maka dikatakan bahwa f adalah fungsi yang akan mengubah x menjadi 2x + 5. Contoh, fungsi f akan mengubah 2 menjadi 2(2) + 5 = 9; fungsi f akan mengubah 3 menjadi 2(3) + 5 = 11, dan lain sebagainya.
Fungsi tersebut dapat ditulis menjadi
f : x → 2x + 5, dibaca: fungsi f memetakan x ke 2x + 5
Bentuk penyebutan lain yang ekuivalen dengan ini adalah
f(x) = 2x + 5 atau y = 2x + 5
3.2 Operasi Aljabar pada Fungsi
Contoh
Diketahui fungsi f(x) = x + 3 dan g(x)= x2 – 9. Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.
a) (f + g) … ?
Alternatif Penyelesaian
Daerah asal fungsi f(x) = x + 3 adalah Df = {x | x∈ } dan daerah asal fungsi
g(x) = x2 – 9 adalah Dg = {x | x∈ }.
a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (x + 3)+ (x2– 9)
= x2 + x – 6
Daerah asal fungsi (f + g)(x) adalah
Df + g = Df ∩Dg
= {x | x∈ } ∩ {x | x∈ }
= {x | x∈ }
3.3 Menemukan Konsep Fungsi Komposisi
Definisi
Jika f dan g fungsi serta Rf ∩Dg ≠ O, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi
f dan g (ditulis g o f) yang ditentukan dengan
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))
daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah Dgf = {x∈Df | f(x)∈Dg}, dengan
Df = daerah asal (domain) fungsi f; Dg = daerah asal (domain) fungsi g;
Rf = daerah hasil (range) fungsi f; Rg = daerah hasil (range) fungsi g.
Contoh
Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 2x + 1 dan fungsi g: → dengan g(x) = x2 – 1.
(1) Apakah fungsi komposisi (g o f)(x) dan (f o g)(x) terdefinisi?
(2) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g o f)(x) dan (f o g)(x).
Alternatif Penyelesaian
f(x) = 2x + 1; g(x) = x2 – 1
Df ={x | x∈ } = R ; Rf = {y | y∈R } =R
Dg ={x | x∈ } = R ; Rg = {y | y∈R } =R
(1) Untuk menentukan fungsi komposisi (g o f)(x) dan (f o g)(x) terdefinisi, maka dapat diketahui berdasarkan
- Jika Rf ∩Dg ≠ Ø, maka (g o f)(x) terdefinisi.
{y| y∈ } ∩ {x| x∈ } = ∩ = ≠ Ø karena Rf ∩Dg ≠ Ø, maka (g o f)(x) terdefinisi.
- Jika Rg∩Df ≠ 0, maka (f o g)(x) terdefinisi.
{y| y∈ } ∩ {x | x∈ } = ∩ = ≠ Ø karena Rg∩Df ≠ Ø, maka (f o g)(x) terdefinisi.
(2) Rumus fungsi komposisi (g o f)(x)dan (f o g)(x) ditentukan dengan
i. (g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x + 1)
= (2x + 1)2 –1
= (4x2 + 4x + 1) – 1
= 4×2 + 4x
ii. (f o g)(x) = f(g(x))
= f(x2 – 1)
= 2(x2 – 1) + 1
= 2x2 – 2 + 1
= 2x2 –1
Dengan demikian diperoleh(g o f)(x) = 4×2 + 4x dan (f o g)(x) = 2×2 – 1.
3.4 Sifat-Sifat Operasi Fungsi Komposisi
Sifat
Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh∩Dg ≠ O; Rgh∩Df ≠ O; Rg∩Df ≠ O; Rh∩Dfg ≠ O, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu
f o (g o h) = (f o g) o h
Contoh
Diketahui fungsi f: : R→ dengan f(x) = 5x – 7 dan fungsi identitas I:R →R
dengan I(x) = x. Tentukanlah
a) rumus fungsi komposisi f o I dan I o f.
b) apakah f o I = I o f = f. Selidikilah.
Alternatif Penyelesaian
a) Rumus fungsi komposisi f o I dan I o f
- (f o I)(x) = f(I(x))
= f(x)
= 5x – 7
- (If)(x) = I(f(x))
= I(f(x))
= 5x – 7
b) Berdasarkan hasil pada butir (a) maka dapat disimpulkan bahwa
f o I = I o f = f
3.5 Fungsi Invers
Definisi
Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(x, y) | x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f -1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f -1 = {(y, x) | y∈B dan x∈A}.
Masalah
Diketahui fungsi f: A → B merupakan fungsi bijektif, fungsi g: C → D merupakan fungsi injektif, dan fungsi h: E → F merupakan fungsi surjektif yang digambarkan seperti Gambar 3.7 di bawah ini.
Jika fungsi invers f memetakan B ke A, fungsi invers g memetakan D ke C, dan fungsi invers h memetakan F ke E, maka gambarlah ketiga invers fungsi tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Gambar ketiga fungsi invers tersebut ditunjukkan sebagai berikut.
3.6 Menentukan Rumus Fungsi Invers
Sifat
Misalkan f -1 adalah fungsi invers fungsi f. Untuk setiap x∈Df dan y∈Rf, maka berlaku y = f(x) jika dan hanya jika f -1 (y) = x.
Contoh
Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 5x + 7. Tentukanlah fungsi inversnya.
Alternatif Penyelesaian
Karena y = f(x), maka y = 5x + 7
5x = y – 7
x = y− 7/5
Karena x = f -1(y), maka f -1(y) = y− 7/5
Karena f -1(y) = y− 7/5 , maka f -1(x) = x− 7/5
= 1/5 (x – 7)
Jadi, fungsi invers f(x) = 5x + 7 adalah f -1(x) = 1/5 (x – 7).
Daftar Pustaka :
Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manulang, Lasker Pengarapan Sinaga, dan Mangara Simanjorang. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas X. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
