Categories: Kelas 11Matematika

Materi Matematika Kelas 11 Bab 1 Induksi Matematika

Share

Halo teman-teman! Apa kabarnya? Semoga kamu selalu sehat dan tetap semangat mengikuti pembelajaran via daring ya! Kali ini penulis akan melanjutkan materi Matematika kelas 11 bab 1 mengenai induksi Matematika.

Apakah kamu sudah siap? Oh iya, jangan lupa siapkan buku ajar keluaran Kemdikbud dan juga catat materi yang menurutmu penting! So, langsung simak ulasan di bawah ini ya!

Bab 1:
Induksi Matematika


Hands using laptop with mathematical formulas. Online education concept

1.1 Pengantar Induksi Matematika

Masalah

Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola penjumlahan bilangan mulai 1 hingga 20. Kemudian, uji kebenaran formula yang ditemukan sedemikian sehingga berlaku untuk penjumlahan bilangan mulai dari 1 hingga n, dengan n bilangan asli.

Alternatif Penyelesaian

a. Pola yang terdapat pada, yaitu:

  • Selisih dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 1.
  • Hasil (1 + 20) = (2 +19) = (3 + 18) = (4 + 17) = . . . = (10 +11) = 21.

Artinya terdapat sebanyak 10 pasang bilangan yang jumlahnya sama dengan 21.
Jadi hasil 1 + 2 + 3 + . . . + 18 + 19 + 20 = (20/2) .21 = 210.

b. Untuk mengetahui pola yang terdapat pada 1 + 2 + 3 + . . . + n, untuk n bilangan asli, perlu dipilih sebarang n > 20 . Misalnya kita pilih n = 200. Sekarang, kita akan menyelidiki apakah pola yang terdapat pada 1 + 2 + 3 + . . . + 18 + 19 + 20 berlaku pada 1 + 2 + 3 + . . . + 198 + 199 + 200?

  • Selisih dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 1.
  • Hasil (1 + 200) = (2 +199) = (3 + 198) = (4 + 197) = . . . = (100 +101) = 201.
  • Artinya terdapat sebanyak 100 pasang bilangan yang jumlahnya sama dengan 201.

Jadi hasil 1 + 2 + 3 + . . . + 198 + 199 + 200 = (200/2).201 = 20.100

Dengan demikian untuk sebarang n bilangan asli yang genap, kamu dapat menentukan jumlah bilangan berurutan mulai dari 1 hingga n.

1.2 Prinsip Induksi Matematika

Contoh

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n2.

Alternatif Penyelesaian

Tentu kamu mengetahui pola bilangan ganjil positif, yaitu: 2n – 1, untuk n bilangan asli. Sedemikian sehingga akan ditunjukkan bahwa:

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2.

Sebut, P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2.

Untuk membuktikan kebenaran formula P(n), kita harus menyelidiki apakah P(n) memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu langkah awal dan langkah induksi.

a) Langkah awal:

Untuk n = 1, maka P(1) = 1 = 12 = 1.

Jadi P(1) benar.

b) Langkah Induksi:

Karena P(1) benar, maka P(2) juga benar, hingga dapat diperoleh untuk n = k,

P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2 juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Akan ditunjukkan untuk bahwa untuk n = k + 1, sedemikian sehingga

P(k + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2 adalah suatu pernyataan yang benar.

Karena P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2 adalah pernyataan yang benar, maka

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2

Jika kedua ruas ditambahkan dengan (2k + 1), akibatnya

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.

Jadi, dengan P(k) ditemukan P(k + 1).

Dengan demikian terbukti bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 adalah benar, untuk setiap n bilangan asli.

Karena formula P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2, memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n2 adalah benar, dengan n bilangan asli.

1.3 Bentuk-Bentuk Penerapan Induksi Matematika

1.3.1 Penerapan Induksi Matematika pada Barisan Bilangan

Masalah 

Misalkan ui menyatakan suku ke i suatu barisan bilangan asli, dengan i = 1, 2, 3, . . . , n. Diberikan barisan bilangan asli, 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . .

Rancang suatu formula untuk menghitung suku ke 1.000 barisan bilangan tersebut. Ujilah kebenaran formula yang diperoleh dengan menggunakan induksi matematika.

Alternatif Penyelesaian

Terlebih dahulu kita mengkaji barisan bilangan asli yang diberikan, bahwa untuk n = 1 maka u1 = 2; untuk n = 2 maka u2 = 9; untuk n = 3 maka u3 = 16; demikian seterusnya.

Artinya kita harus merancang suatu formula sedemikian sehingga formula tersebut dapat menentukan semua suku-suku barisan bilangan tersebut. Mari kita telaah hubungan antara n dengan sukusuku barisan bilangan 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . yang dideskripsikan pada Gambar 1.3.

1.3.2 Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian

Contoh 

Dengan induksi matematika, tunjukkan bahwa 11n – 6 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli.

Alternatif Penyelesaian

Kita misalkan P(n) = 11n – 6, dengan n bilangan asli.

Pada contoh ini kita harus menunjukkan bahwa 11n – 6 dapat dituliskan sebagai bilangan kelipatan 5. Akan ditunjukkan bahwa P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

a) Langkah Awal

Kita dapat memilih n = 3, sedemikian sehingga, 113 – 6 = 1.325 dan 1.325 habis dibagi 5, yaitu 1.325 = 5(265). Dengan demikian P(3) habis dibagi 5.

b) Langakah Induksi

Karena P(3) benar, maka P(4) benar, sedemikian sehingga disimpulkan P(k) = 11k – 6 benar, untuk k bilangan asli. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika P(k) = 11k – 6 habis dibagi 5, maka P(k + 1) = 11(k + 1) – 6 habis dibagi 5.

Karena 11k – 6 habis dibagi 5, maka dapat kita misalkan 11k – 6 = 5m, untuk m bilangan bulat positif. Akibatnya, 11k = 5m + 6.

Bentuk 11k + 1 – 6 = 11k(11) – 6,

= (5m + 6)(11) – 6 (karena 11k = 5m + 6)

= 55m + 60

= 5(11m + 12).

Dengan demikian P(k + 1) = 11(k + 1) – 6 dapat dinyatakan sebagai kelipatan 5, yaitu 5(11m + 12). Jadi benar bahwa P(k + 1) = 11(k + 1) – 6 habis dibagi 5.

Karena P(n) = 11n – 6 memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka terbukti P(n) = 11n – 6 habis dibagi 5, untuk n bilangan asli.

Daftar Pustaka : 

Sudianto Manullang, Andri Kristianto S., Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Bornok Sinaga, Mangaratua Marianus S., Pardomuan N. J. M. Sinambela. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas XI. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.

This post was last modified on Agustus 12, 2021 9:55 pm

Fifih Fauziah

Keseharian mengajar, hobi menulis dan membaca buku. Akun instagram @fifih_fauziyyah, Fb : Fifih Fauziyyah

Leave a Comment
Published by
Fifih Fauziah

Recent Posts

Simak 7 Aplikasi Belajar Bahasa Korea Gratis di Smartphone

Korea Selatan. Pasti kamu sudah tidak asing bukan? Budaya Korea Selatan kini merebak di seluruh… Read More

September 15, 2021

Materi Seni Budaya Kelas 10 Bab 1 Berkarya Seni Rupa Dua Dimensi

Halo teman-teman semua! Selamat datang di Materi Seni Budaya Kelas 10 Bab 1 mengenai Berkarya… Read More

September 15, 2021

Materi Bahasa Inggris Kelas 12 Bab 11 Let’s Make A Better World For All

Halo teman-teman, tidak terasa ya, kita sudah di penghujung pelajaran Bahasa Inggris kelas 12. Nah,… Read More

September 14, 2021

Ini Dia Kelas Membuat Data Warehouse dari Skill Academy Beserta 3 Bonus Menarik

Untuk membantu menanggulangi berbagai dampak negatif dari Pandemi Covid-19, pemerintah merilis berbagai bentuk bantuan kepada… Read More

September 14, 2021

Materi Bahasa Inggris Kelas 12 Bab 10 How To Use Photoshop

Teman-teman, pastinya sudah tidak asing lagi bukan dengan aplikasi Photoshop? Yuph, aplikasi ini dikenal karena… Read More

September 14, 2021

Materi Bahasa Inggris Kelas 12 Bab 9 Do It Carefully!

Halo teman-teman? Bagaimana kabarnya hari ini? Semoga sehat selalu ya. Nah, hari ini penulis ingin… Read More

September 14, 2021