Materi Matematika Kelas 11 Bab 5 Barisan

Halo teman-teman! Apa kabar? Penulis berharap kamu dalam keadaan sehat dan tetap semangat mengikuti pelajaran online ya. Kali ini kita akan melanjutkan materi matematika kelas 11 bab 5 mengenai barisan.

Apakah kamu sudah siap? Oh iya, jangan lupa untuk menyiapkan buku ajar keluaran Kemdikbud dan mencatat materi penting dari rangkuman ini ya. So, yuk simak ulasan di bawah gengs!

Bab 5:
Barisan

5.1 Menemukan Pola Barisan

Contoh

Suatu barisan dengan pola sn = 2n3 – 3n2. Tentukan pola barisan tersebut kemudian tentukanlah suku ke-10.

Alternatif Penyelesaian

Dengan rumus u_n = s_n – s_n–1 maka dapat ditentukan s_n = 2n³ – 3n² atau

s_m = 2m³ – 3m². Misalkan m = n – 1 maka

S_n-1= 2(n – 1)³– 3(n – 1)²

S_n-1=  (2n³ – 6n² + 6n – 2) – (3n² – 6n + 3)

S_n—1= 2n³ – 9n² + 12n – 5

Jadi,

U_n= S_n – S_n-1= (2n³ – 3n²) – (2n³ – 9n² + 12n – 5)

U_n = 6n² – 12n + 5

Pola barisan tersebut adalah 6 2 12 5 n u= n – n + sehingga:

u10 = 6(10)2 −12(10) + 5 = 600 −120 + 5 = 485

Jadi, suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 485.

5.2 Menemukan Konsep Barisan Aritmetika

Definisi

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yangberurutan adalah sama. Beda, dinotasikan “b” memenuhi pola berikut. b = u₂ – u₁ = u₃ – u₂ = u₄ – u₃ = … = u_n – u_n–1 

n: bilangan asli sebagai nomor suku, un adalah suku ke-n.

Sifat

Jika u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, …, un merupakan suku-suku barisan aritmetika. Suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.

u_n = a + (n – 1)b

a = u₁= suku pertama barisan aritmetika, b = beda barisan aritmetika.

Contoh:
Suku ke-4 barisan aritmetika adalah 19 dan suku ke-7 adalah 31. Tentukan suku ke-50.

Alternatif Penyelesaian

5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri

Definisi

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan.

Nilai r dinyatakan: r = u₂/u₁ = u₃/u₂  = u₄/u₃ = …. = u_n/u_n-1

Sifat

Jika u₁, u₂, u₃, …, un merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u1= a dan r: rasio, maka suku ke-n dinyatakan u_n = a.r ^n–1, n adalah bilangan asli

Contoh 5.8

Seorang anak memiliki selembar kertas. Berikut ini disajikan satu bagian kertas.

Ia melipat kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Kertas terbagi menjadi 2 bagian yang sama besar.

Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya. Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama besar.

Ia terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat, ia selalu membuka hasil lipatan dan mendapatkan kertas tersebut terbagi menjadi 2 bagian sebelumnya. Sekarang, perhatikan bagian kertas tersebut yang membentuk sebuah barisan bilangan.

5.4 Aplikasi Barisan

5.4.1 Pertumbuhan

Contoh 

Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya? Berapa jumlah penduduknya pada tahun 2015?

Alternatif Penyelesaian

Persentase pertumbuhan penduduk:

P_n = P₀ (1 + i)_n

4,5 = 3,25 (1 + i)^2013-2008

4,5 = 3,25 (1 + i)⁵

4,5/3,25 = (1 + i)⁵

1,3846   = (1 + i)⁵

1,3846 ^1/5 = 1 + i

i = 1,3846 ^1/5 – 1

i = 0,0673 = 6,73 %

Jadi, persentase pertumbuhan penduduknya 6,73%.

Jumlah penduduk pada tahun 2015.

P ₂₀₁₅ = P ₂₀₀₈ (1 + i) ^2015-2008

= 3,25 (1 + 6,73%)⁷

= 3,25 (1,577632)= 5,13

Jadi, jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 2015 sebanyak 5,13 juta.

5.4.2 Peluruhan

Masalah 

Suatu neutron dapat pecah mendadak menjadi suatu proton dan elektron dan ini terjadi sedemikian sehingga jika kita memiliki 1.000.000 neutron, kira-kira 5% dari padanya akan berubah pada akhir satu menit. Berapa neutron yang masih ada setelah n menit dan 10 menit?

Alternatif Penyelesaian

5.4.3 Bunga Majemuk

Masalah 

Ovano menerima uang warisan sebesar Rp70.000.000,00 dari orang tuanya dan berniat untuk menginvestasikan dalam bentuk tabungan di bank selama 5 tahun.

Dia menjajaki dua bank yang memiliki sistem pembungaan yang berbeda. Bank BCL menggunakan bunga tunggal sebesar 10% per tahun dan Bank PHP menggunakan majemuk sebesar 9% per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank ia memperoleh ilustrasi investasi sebagai berikut.

Dari ilustrasi investasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa walaupun Bank PHP menawarkan bunga majemuk yang lebih kecil daripada bunga tunggal Bank BCL namun hasil investasi yang dihasilkan adalah lebih besar.

5.4.4 Anuitas

Anuitas bukan hal yang baru dalam kehidupan ekonomi semisal sistem pembayaran sewa rumah, atau angsuran kredit (motor, rumah, bank, dll) atau pun uang tabungan kita di bank yang setiap bulan mendapatkan bunga, semuanya merupakan contoh konkret dari anuitas.

Contoh 

Ibu Depi membeli sebuah sepeda motor dari dealer yang menggunakan sistem anuitas pada pembayaran kreditnya. Harga motor tersebut adalah Rp10.000.000,00 dengan menggunakan tingkat suku bunga 4% per tahun.

Ibu Depi berencana melunaskan kreditnya dengan 6 kali anuitas. Hitunglah besar anuitas yang dibayarkan oleh Ibu Depi?

Alternatif Penyelesaian

Dari masalah tersebut dapat diketahui :
M = Rp10.000.000,00 ; i = 4% = 0,04 ; n = 6

Maka besar anuitasnya:

Daftar Pustaka: 
Sudianto Manullang, Andri Kristianto S., Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Bornok Sinaga, Mangaratua Marianus S., Pardomuan N. J. M. Sinambela. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas XI. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.