Materi Matematika Kelas 11 Bab 7 Turunan

Halo teman-teman! Apa kabarnya? Penulis berharap kamu selalu sehat dan tetap semangat mengikuti pembelajaran online ya. Kali ini kita akan melanjutkan materi Matematika kelas 11 bab 7 mengenai turunan.

Oh iya, jangan lupa untuk menyiapkan buku keluaran Kemdikbud dan catat materi dalam rangkuman berikut ya. So, yuk langsung simak ulasan di bawah ini!

Bab 7:
Turunan

---

7.1 Menemukan Konsep Turunan Fungsi

Turunan merupakan salah satu dasar atau fondasi dalam analisis dan sangat aplikatif untuk membantu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

7.1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen

7.1.2 Turunan Sebagai Limit Fungsi

Sifat 

Contoh

7.2 Turunan Fungsi Aljabar

Contoh

7.3 Aplikasi Turunan

7.3.1 Konsep Kemonotonan Fungsi

Definisi

Misalkan fungsi f : S → R, S ⊆ R

• Fungsi f dikatakan naik jika “x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
• Fungsi f dikatakan turun jika “x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Contoh 

Tunjukkan grafik fungsi f(x) = x³, x ∈ R dan x > 0 adalah fungsi naik.

Alternatif Penyelesaian

f(x) = x³, x ∈ R dan x > 0

Ambil sebarang x₁, x₂ ∈ R dengan 0 < x₁ < x₂

x = x₁ ⇒ f(x₁) = x₁ ³

x = x₂ ⇒ f(x₂) = x₂³

Karena 0 < x₁ < x₂ maka x₁³ < x₂³

Karena x₁³ < x₂ ³ maka f(x₁) < f(x₂)

Dengan demikian “x ∈ S, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). Dapat disimpulkan f adalah fungsi naik.

7.3.2 Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi

Contoh

7.3.3 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi pada Suatu Interval

Contoh

Sebuah partikel diamati pada interval waktu (dalam menit) tertentu berbentuk kurva f(t) = t3 – 9t2 + 24t – 16 pada 0 ≤ t ≤ 6. Tentukan nilai optimal pergerakan partikel tersebut.

Alternatif Penyelesaian

Daerah asal fungsi adalah {t|0 ≤ t ≤ 6}

Titik stasioner f ‘(t) = 0

f(t) = t³ – 9t² + 24t – 16 sehingga f ‘(t) = 3(t² – 6t + 8) = 0 dan f “(t) = 6t – 18

f ‘(t) = 3(t – 2)(t – 4) = 0

t = 2 → f(2) = 4 dan t = 4 → f(4) = 0

Karena daerah asal {t|0 ≤ t ≤ 6} dan absis t = 2, t = 4 ada dalam daerah asal sehingga:

t = 0 → f(0) = –16 dan t = 6 → f(6) = 20.

Nilai minimum keempat titik adalah –16 sehingga titik minimum kurva pada daerah asal adalah A(0, –16) dan nilai maksimum keempat titik adalah 20 sehingga titik maksimum kurva pada daerah asal adalah B(6, 20).

7.3.4 Konsep Turunan Dalam Permasalahan Kecepatan dan Percepatan

Contoh 

Pada pengamatan tertentu, sebuah partikel bergerak mengikuti sebuah pola yang merupakan fungsi jarak s atas waktu t, yaitu s(t) = t4 – 6t² + 12. Tentukanlah panjang lintasan dan kecepatan pada saat percepatannya konstan.

Alternatif Penyelesaian

Diketahui : s(t) = t⁴ – 6t² + 12

Ditanya : s(t) dan v(t) pada saat a(t) = 0

Proses penyelesaian

Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi

v(t) = s‘(t) = 4t³ – 12t.

Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan

a(t) = v‘(t) = 12t² – 12 = 0

⇔ 12(t + 1)(t – 1) = 0.

Jadi, percepatan akan konstan pada saat t = 1 sehingga:

v(1) = s‘(1) = 4(1)³ – 12(1) = –8

s(1) = (1)⁴ – 6(1)² + 12 = 7.

7.4 Menggambar Grafik Fungsi

Contoh 

Dengan menggunakan konsep turunan, analisis kurva fungsi f(x) = x2 – 2x.

Alternatif Penyelesaian

a. Menentukan titik stasioner (f ‘(x) = 0)

f ‘(x) = 2x – 2 = 0 atau x = 1

Titik stasioner P(1, –1)

b. Menentukan interval fungsi naik/turun

Fungsi naik pada (f ‘(x) > 0)

f ‘(x) = 2x – 2 > 0 atau x > 1

Fungsi turun pada (f ‘(x) < 0)

f ‘(x) = 2x – 2 < 0 atau x < 1

c. Menentukan titik belok (f “(x) = 0)

f “(x) = 2 ≠ 0

Tidak ada titik belok

d. Menentukan titik optimum

Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi

f “(x) = 2 > 0 disebut titik minimum di P(1, –1).

Daftar Pustaka : 
Sudianto Manullang, Andri Kristianto S., Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Bornok Sinaga, Mangaratua Marianus S., Pardomuan N. J. M. Sinambela. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MK Kelas XI. Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.